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New Non-traveling Solitary Wave Solutions for a Second-Order

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Second order equation
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  New Non-traveling Solitary Wave Solutions for a Second-orderKorteweg-de Vries Equation Woo-Pyo Hong and Young-Dae Jung a Department of Physics, Catholic University of Taegu-Hyosung,Hayang, Kyongsan, Kyungbuk 712-702, South Korea a Department of Physics, Hanyang University, Ansan, Kyunggi-Do 425-791, South KoreaReprint requests to Prof. W.-P. H.; E-mail: wphong@cuth.cataegu.ac.krZ. Naturforsch.  54 a,  375–378 (1999); received March 12, 1999Modeling the propagation of two different wave modes simultaneously, the second-order KdVequation is of current interest. Applying a tanh-typed method with symbolic computation, we havefound certain new analytic soliton-typed solutions which go beyond the the previously obtainedtraveling wave solutions. Keywords: Nonlinear Evolution Equations; Second-order KdV Equation; Solitonic Solutions;Symbolic Computation. Weinvestigatethesecond-orderKdVequationpro-posed by Korsunsky [1], which is assumed to gov-ern propagation in the same direction of two wavemodes with the same dispersion relation, but withdifferentphasevelocities,nonlinearityanddispersionparameters: u  xx  + ( c   1  + c   2 ) u  xt   + c   1 c   2 u  xx  + h   (    1  +    2 )  ∂∂ t   + (    1 c   2  +    2 c   1 )  ∂∂ x  i  uu  x  + h   (    1  +    2 )  ∂∂ t   + (    1 c   2  +    2 c   1 )  ∂∂ x  i  uu  xxxx   = 0  (1)where u   ( xt   ) is a field function, c  i   are the phase ve-locities,   i   the parameters of nonlinearity, and   i   thedispersion parameters for the first ( i   = 1) and second( i   = 2) mode. This equation exhibits two importantfeatures: (i) if one of the modes is absent, the otherobeystheordinary KdVequation,and(ii) onapplica-tion of the perturbation techniqu,e this equationleadsto the uncoupled KdV equations for each mode ona corresponding temporal and spatial scale [1]. Wecan show that in the absence of the other wave theevolution of each mode is described by its own KdVequation u  t  + c  i  u  x   +   i  uu  x   +   i  u  xxx   = 0 (2) 0932–0784 / 99 / 0600–0375 $ 06.00  c    Verlag der Zeitschrift f ¨ur Naturforschung, T¨ubingen   www.znaturforsch.com with the traveling solitary wave solutions u  ( xt   ) = A    sech 2 f  [ x  ;   ( c  i   + 13    1 A   ) t   ] =L  i  g   where 12 L   2 i  = A  i  =  i  : (3)To simplify the analysis, we transform (1), using thetransformations   = (    1  +    2 ) ;   1 =   2 ( x  ;  c   0 t   ) T   = (    1  +    2 ) ;   1 =   2 tc  0  = 12( c   1  + c   2 ) U   ( T   ) = (    1  +    2 ) u   ( xt   )  (4)into U  TT  ;  s  2 U    (5)+    ∂∂ T   + s   ∂∂     UU     +    ∂∂ T   + s   ∂∂     UU     = 0  where s  = 12( c   1 ;  c   2 )    =    2 ;     1   2  +    1   =    2 ;     1   2  +    1 (6)with s>   0, j   j   1, and j   j   1.Twofamiliesoftravelingwavesolutionshavebeenfound in [1] for (5):  376 W.-P. Hong and Y.-D. Jung · Solutions for a Second-order Korteweg-de Vries Equation U  I ( xt   ) = U   0  + 3 U   0   sech 2 h    s   U   0 (      1)4(      1)    (    1  +    2 ) ;   1 =   2 ( x  ;  c   0 t   ) ;  t  i    (7)where U   0  is a constant wave amplitude and    =   s   corresponds to the two modes represented in (1) and U  II ( xt   ) = A    sech 2 h    s   A   ( s  ;     )12( s  ;     )    (    1  +    2 ) ;   1 =   2 ( x  ;  c   0 t   ) ;  t  i    (8)where the two roots of     2 = s   2 +1 =   3 A   ( s  ;     ) correspond to the two solitary wave modes, and A   is the waveamplitude.In this work we apply the tanh-typed method [2 - 4] with symbolic computation to (5) to find somenon-traveling solitary wave solutions. As an Ansatz we assume that the physical field U   ( T   ) has the form U  ( T   ) = N  X   n  =0 A  n  ( T   )   tanh n   [ G   ( T   )     + H   ( T   )]   (9)where N   is the integer determined via the balance of the highest-order contributions from both the linear andnonlinear terms of (5) as N   = 2, while A  N   ( t   ), G   ( T   ), and H   ( T   ) are the non-trivial differentiable functions tobe determined.With the symbolic computation package  Maple  we substitute the Ansatz (9), together with the aboveconditions, into (5) and collect the coefficients of like powers of tanh:(tanh 6 ) : 10 A   2 ( T   ) G   ( T   )[ A   2 ( T   ) sG   ( T   ) + A   2 ( T   ) G   ( T   ) T      + A   2 ( T   ) H   ( T   ) T   + 12 sG   ( T   ) 3 (10)+ 12 G   ( T   ) 2 G  ( T   ) T     + 12 G   ( T   ) 2 H  ( T   ) T   ](tanh 5 ) : ;   2 A   2 ( T   ) 2 G  ( T   ) T  ;   24 A   2 ( T   ) TT  G   ( T   ) 3 + 12 A   1 ( T   ) G   ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   )     (11)+ 24 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 3 G  ( T   ) T      + 24 sA   1 ( T   ) G   ( T   ) 4 ;  72 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 2 G  ( T   ) T   + 24 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 3 H  ( T   ) T  + 12 sA   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 A  2 ( T   ) + 12 A   1 ( T   ) H   ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) ;   4 A   2 ( T   ) TT  A   2 ( T   ) G   ( T   )(tanh 4 ) : ;   6 A   1 ( T   ) T   ( G   ( T   )) 3 + 6 A   2 ( T   ) H   ( T   ) T   2 ;  6 s   2 A  2 ( T   )( G   ( T   )) 2 + 3 A   1 ( T   ) 2 G  ( T   ) T  G   ( T   )     (12) ;  3 A   1 ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) + 6 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) H   ( T   ) T  ;   240 A   2 ( T   )( G   ( T   )) 3 H  ( T   ) T  ;  240 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 3 G  ( T   ) T     ;   18 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 G  ( T   ) T   + 6 A   2 ( T   ) G   ( T   ) T   2     2 + 6 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) G   ( T   ) T     ;   240 sA   2 ( T   ) G   ( T   ) 4 ;  16 A   2 ( T   ) 2 H  ( T   ) T  G   ( T   )+ 12 A   2 ( T   ) G   ( T   ) T  H   ( T   ) T     ;   3 A   2 ( T   ) TT  A   1 ( T   ) G   ( T   ) ;   16 s   ( A   2 ( T   )) 2 ( G   ( T   )) 2 + 3 A   1 ( T   ) 2 H  ( T   ) T  G   ( T   ) + 3 s   ( A   1 ( T   )) 2 G  ( T   ) 2 ;  16( A   2 ( T   )) 2 G  ( T   ) T  G   ( T   )    ;  3 A   1 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) T   + 6 sA   0 ( T   ) A   2 ( T   )( G   ( T   )) 2 (tanh 3 ) : ;   18 A   1 ( T   ) H   ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) ;   40 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 3 H  ( T   ) T  ;   40 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 3 G  ( T   ) T      (13) ;  18 A   1 ( T   ) G   ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   )    ;   4 A   2 ( T   ) T  H   ( T   ) T   + 120 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 2 G  ( T   ) T  ;  2 A   2 ( T   ) G   ( T   ) TT     ;  A   1 ( T   ) 2 G  ( T   ) T  ;   2 A   2 ( T   ) H   ( T   ) TT   + 2 A   1 ( T   ) H   ( T   ) T   2 + 2 A   1 ( T   ) G   ( T   ) T   2     2 ;  2 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) T  ;   4 A   2 ( T   ) T  G   ( T   ) T     ;   2 A   1 ( T   ) T  A   1 ( T   ) G   ( T   )  W.-P. Hong and Y.-D. Jung · Solutions for a Second-order Korteweg-de Vries Equation 377 + 4 A   2 ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) ;   2 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) T  G   ( T   ) ;   2 A   0 ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) + 40 A   2 ( T   ) T  G   ( T   ) 3 ;  40 sA   1 ( T   ) G   ( T   ) 4 ;  18 sA   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 A  2 ( T   ) ;   2 s   2 A  1 ( T   ) G   ( T   ) 2 + 2 A   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) G   ( T   ) T      + 2 sA   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 + 2 A   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) H   ( T   ) T  + 4 A   1 ( T   ) G   ( T   ) T  H   ( T   ) T      + 2 A   2 ( T   ) 2 G  ( T   ) T  (tanh 2 ) : A   2 ( T   ) TT  ;   4 A   1 ( T   ) 2 H  ( T   ) T  G   ( T   ) + 6 A   2 ( T   ) 2 H  ( T   ) T  G   ( T   ) + 136 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 3 H  ( T   ) T   (14)+ 3 A   1 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) T  ;   8 A   2 ( T   ) G   ( T   ) T   2     2 + 24 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 G  ( T   ) T  ;   4 A   1 ( T   ) 2 G  ( T   ) T  G   ( T   )    + 3 A   1 ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) ;   16 A   2 ( T   ) G   ( T   ) T  H   ( T   ) T     ;   8 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) H   ( T   ) T  ;  8 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) G   ( T   ) T      + 136 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 3 G  ( T   ) T      + 136 sA   2 ( T   ) G   ( T   ) 4 ;  4 sA   1 ( T   ) 2 G  ( T   ) 2 ;  8 sA   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) 2 + 6 A   2 ( T   ) 2 G  ( T   ) T  G   ( T   )     + 8 s   2 A  2 ( T   ) G   ( T   ) 2 ;  A  1 ( T   ) G   ( T   ) TT     ;  A   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) T   + 6 sA   2 ( T   ) 2 G  ( T   ) 2 + 8 A   1 ( T   ) T  G   ( T   ) 3 ;  8 A   2 ( T   ) H   ( T   ) T   2 ;  A  0 ( T   ) T  A   1 ( T   ) G   ( T   ) + 3 A   2 ( T   ) T  A   1 ( T   ) G   ( T   ) ;   2 A   1 ( T   ) T  G   ( T   ) T     ;  A  0 ( T   ) A   1 ( T   ) T  G   ( T   ) ;   2 A   1 ( T   ) T  H   ( T   ) T  ;  A   1 ( T   ) H   ( T   ) TT  (tanh 1 ) : A   1 ( T   ) TT   + 6 A   1 ( T   ) H   ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) + 16 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 3 H  ( T   ) T   + 16 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 3 G  ( T   ) T      (15)+ 6 A   1 ( T   ) G   ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   )     + 4 A   2 ( T   ) T  H   ( T   ) T  ;   48 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 2 G  ( T   ) T   + 2 A   2 ( T   ) G   ( T   ) TT     + A   1 ( T   ) 2 G  ( T   ) T   + 2 A   2 ( T   ) H   ( T   ) TT  ;   2 A   1 ( T   ) H   ( T   ) T   2 ;  2 A   1 ( T   ) G   ( T   ) T   2     2 + 2 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) T   + 4 A   2 ( T   ) T  G   ( T   ) T      + 2 A   1 ( T   ) T  A   1 ( T   ) G   ( T   ) + 2 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) T  G   ( T   )+ 2 A   0 ( T   ) T  A   2 ( T   ) G   ( T   ) ;   16 A   2 ( T   ) T  G   ( T   ) 3 + 16 sA   1 ( T   ) G   ( T   ) 4 + 6 sA   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 A  2 ( T   )+ 2 s   2 A  1 ( T   ) G   ( T   ) 2 ;  2 A   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) G   ( T   ) T     ;   2 sA   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 ;  2 A   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) H   ( T   ) T  ;   4 A   1 ( T   ) G   ( T   ) T  H   ( T   ) T     (tanh 0 ) : A   0 ( T   ) TT  ;   2 A   1 ( T   ) T  G   ( T   ) 3 + 2 A   1 ( T   ) T  H   ( T   ) T   + 2 A   2 ( T   ) H   ( T   ) T   2 + A   1 ( T   ) H   ( T   ) TT   (16)+ A   0 ( T   ) A   1 ( T   ) G   ( T   ) T   + 2 A   1 ( T   ) T  G   ( T   ) T      + 2 A   2 ( T   ) G   ( T   ) T   2     2 ;  2 s   2 A  2 ( T   ) G   ( T   ) 2 + A   1 ( T   ) 2 H  ( T   ) T  G   ( T   ) + A   0 ( T   ) T  A   1 ( T   ) G   ( T   ) + A   0 ( T   ) A   1 ( T   ) T  G   ( T   ) + A   1 ( T   ) G   ( T   ) TT     ;  16 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 3 H  ( T   ) T  ;   6 A   1 ( T   ) G   ( T   ) 2 G  ( T   ) T   + 4 A   2 ( T   ) G   ( T   ) T  H   ( T   ) T     ;  16 sA   2 ( T   ) G   ( T   ) 4 + sA   1 ( T   ) 2 G  ( T   ) 2 + 2 sA   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) 2 + A   1 ( T   ) 2 G  ( T   ) T  G   ( T   )    + 2 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) G   ( T   ) T      + 2 A   0 ( T   ) A   2 ( T   ) G   ( T   ) H   ( T   ) T  ;   16 A   2 ( T   ) G   ( T   ) 3 G  ( T   ) T    where the subscript T   denotes time derivative.Ourgoalistofindtheconditionsfor A  N   ( T   ) G   ( T   ),and H   ( T   ) which simultaneously let the above termsbecome zero. After dealing with some complicatedsymbolic calculations using  Maple , we obtained anew family of non-traveling solitary-wave solutionsas U  new ( T   ) = A   0 ( T   ) + A   1 ( T   )   tanh 1 [ G   ( T   )     + H   ( T   )]+ A   2 ( T   )   tanh 2 [ G   ( T   )     + H   ( T   )]   (17)where  378 W.-P. Hong and Y.-D. Jung · Solutions for a Second-order Korteweg-de Vries EquationFig. 1. Beyond traveling solitary-wave solution U   new ( xt   )with the parameters    2  = 10    1  = 0 :  01    2  = 10,   1  = 0 :  01, c   1  = 1 c   2  = 0 :  01 C   1  = 0 :  1 C   2  = 0 :  01,and C   3  = 0 :  01, satisfying the solitary wave property that U  new ( xt   ) tends to zero j x  j  as approaches infinity. G  ( T   ) = G   = nonzero constant   (18) H  ( T   ) = C   1 T  2 + C   2 T   + C   3   (19)where C  i   are arbitary constants A  2 ( T   ) = ;   12 G   2  (20) A  1 ( T   ) = 0   (21) A  0 ( T   )  R   ( T   ) S  ( T   )   (22) R  ( T   ) ;   24 G   (2 C   1 T   + C   2 ) 4 + (192 G   4 ;  48 G   2 s  )  (2 C   1 T   + C   2 ) 3 + 576 G   5 s  (2 C   1 T   + C   2 ) 2 + (576 s   2 G   6 + 48 s   3 G   4 )(2 C   1 T   + C   2 )+ 24 s   4 G   5 + 192 s   3 G   7  S  ( T   )    3 G   3 s  (2 C   1 T   + C   2 ) 2 + 3 s   2 G   4 (2 C   1 T   + C   2 )  G  2 (2 C   1 T   + C   2 ) 3 + s   3 G   3  and the following auxiliary conditions are requiredfor U   new ( T   ) to be a solution of (5): [1] S. V. Korsunsky, Phys. Lett.  A 185 , 174 (1994).[2] B. Tian, K. Zhao and Y. T. Gao, Int. J. Engng. Sci.(Lett.)  35 , 1081 (1997).[3] Y. T. Gao and B. Tian, Acta Mechanica  128 , 137(1998).[4] E. Parkes and B. Duffy, Computer Phys. Comm.  98 ,288 (1996).Fig.2.Atypicalsech 2 -typedsolitarywavesolution U   II ( xt   )with A   = 1    2  = 10    1  = 0 :  01    2  = 10    1  = 0 :  01 c   1  = 1,and c   2  = 0 :  01.   =    = 1 or    =    = ;   1   (23)which imply that    2      1  and    2      1  for    =   = 1 or    1      2  and    1      2  for    =    = ;   1.Physically, these conditions indicate that two solitarywave modes propagate in the medium, where onemode’s nonlinearity and dispersion parameters aremuch bigger than the other one’s.Finally we present two figures with some selectedparameters. We set    2  = 10    1  = 0 :  01    2  = 10    1  =0 :  01 c   1  = 1 c   2  = 0 :  01 C   1  = 0 :  1 C   2  = 0 :  01, and C  3  = 0 :  01 for the new solitary-wave solutions (17)and plot U   new ( xt   ) in Figure 1. The new solutionssatisfy solitary wave property that U   new ( xt   ) tendsto zero as j x  j  approaches infinity. For comparison inFig.2weplotthetravelingwavesolutionof  U  II   ( xt   )(8) with A   = 1    2  = 10    1  = 0 :  01    2  = 10    1  =0 :  01 c   1  = 1, and c   2  = 0 :  01.Tosumup,thetanhmethodandsymboliccomputa-tions lead to the new analytic solitary-wave solutions(17),differentfromthepreviouslyobtainedresults[1]for the second order KdV equation.  Acknowledgements This research was supported by the Korean Re-search Foundation through the Basic Science Re-search Institute Program (1998-015-D00128).
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